Saluto a Mandelbrot

Lo scorso 14 ottobre Benoît Mandelbrot ci ha lasciato, ne sono venuto a conoscenza con diversi giorni di ritardo, su segnalazione di un amico. E’ assai triste constatare che la scomparsa di uno dei grandi matematici del secolo sia stata totalmente trascurata dai media. Ogni commento è superfluo.

Mandelbrot è diventato famoso al grande pubblico per aver inventato il concetto di “frattale”, un termine che lui stesso coniò nel 1975 per indicare una geometria che ricorsivamente ripete se stessa su scala differente o, detta in altri termini, in cui una parte è – su scala ridotta - uguale al tutto (si pensi alla foglia di una felce o ad un cavolfiore).

In realtà i primi frattali risalgono ai primi dell’Ottocento, ma, come ha scritto Odifreddi, il merito di Mandelbrot fu, oltre che l’invenzione della parola stessa, quello di aver fatto diventare il loro studio uno dei campi più intriganti della matematica.

La tipica geometria frattale di un
cavolfiore

Non tutti però sanno che Mandelbrot applicò proficuamente questi strumenti matematici anche all’economia e alla finanza. I risultati ottenuti in questo ambito portarono Mandelbrot ad essere una voce fuori dal coro, nel suo libro “The (Mis)Behavior of Markets”, denunciò che le teorie della moderna finanza sono fondate su presupposti non corretti e che i mercati finanziari sono in realtà molto più pericolosi di quanto si pensi comunemente.

Da quando nel 1900 un alunno di Henri Poincaré, Louis Bachelier, nella sua tesi di dottorato Théorie de la spéculation, arrivò alla conclusione che le oscillazioni dei prezzi nei mercati finanziari sono descrivibili in termini di movimenti casuali (“random walk”) con ampiezze distribuite secondo una gaussiana, le teorie finanziarie non hanno più abbandonato quei presupposti (anche perché, diciamolo, garantivano la possibilità di una trattazione matematica più agevole ed elegante).

Mandelbrot ha mostrato che tali presupposti - su cui si basano le teorie finanziarie ancor oggi in uso - sono scorretti: non solo i mercati hanno memoria (non si muovono in maniera casuale ma sono influenzati dai prezzi precedenti) ma soprattutto sono molto più pericolosi di quanto si è portati a credere confidando nelle distribuzioni gaussiane.

La conseguenza più importante di ciò è che gli eventi ritenuti “rari” non sono in realtà così improbabili, anzi. E purtroppo, come Nassim Taleb ci ricorda nel suo libro The Black Swan, gli eventi rari sono ciò che più di ogni cosa incide sulle nostre vite (e ciò - almeno a livello aggregato – è di fronte ai nostri occhi).

Mandelbrot ha inoltre evidenziato che queste assunzioni sbagliate non hanno implicazioni puramente accademiche, ma comportano una grave vulnerabilità del sistema finanziario internazionale. Il suo libro uscì nel 2004, dopo appena quattro anni i suoi caveat si sono tristemente concretizzati in quella che è stata la più grave crisi finanziaria dai tempi della Grande Depressione: i modelli matematici utilizzati per gestire i rischi finanziari hanno clamorosamente fallito, si pensi al famigerato VaR ("Value at Risk"), una misura del rischio finanziario che qualcuno ha efficacemente definito come “un airbag che funziona sempre tranne quando avete un incidente”.

Ancora una volta il Cigno Nero ha colpito. Ma era poi tutto così imprevedibile?

Appendice (per i più curiosi):

Ecco alcuni esempi concreti tratti dal libro di Mandelbrot. Per ognuna delle azioni che compongono il Dow Jones, se assumessimo una distribuzione gaussiana, le variazioni di prezzo oltre le 5 deviazioni standard dovrebbero verificarsi una volta ogni 7000 anni, invece si registrano mediamente ogni 3-4 anni.

Sui mercati delle valute le anomalie sono ancora più vistose: sul cambio dollaro/yen si sono registrate variazioni superiori a 10 deviazioni standard, secondo la distribuzione gaussiana un evento del genere non si sarebbe dovuto verificare nemmeno una volta in 15 miliardi di anni, cioè dal Big Bang ai giorni nostri! Le oscillazioni dei mercati non sono evidentemente descrivibili tramite distribuzioni normali, ma - secondo Mandelbrot – con distribuzioni non simmetriche a code spesse di tipo Lévy.

Per chi fosse interessato ad approfondimenti può trovare una sintesi del libro di Mandelbrot a questo link.


Curiosità: quando nel 1900 Bachelier presentò la sua tesi di dottorato Théorie de la spéculation alla  Sorbona di Parigi, la matematica non era mai stata utilizzata per trattare un argomento così strano come l'andamento dei prezzi sui mercati finanziari, per cui risultò una tesi piuttosto sui generis, al punto che i professori della commissione di dottorato si dimostrarono alquanto scettici sulla rilevanza delle sue tesi (e gli attribuirono un giudizio honorable anziché très honorable!). E pensare che le idee di Bachelier sono state per decenni alla base della finanza moderna e da molti vengono utilizzate ancora oggi.